整列ペア除外（APE）

先に読むと分かりやすい項目：候補数字の記入 · ペアと部分集合 · ALS-XZ

APE（Aligned Pair Exclusion）は、2つの青い基準セルから候補の組合せをすべて作り、矛盾する組合せを一つずつ除外する手筋です。

基準セルAのある候補が、基準セルBのどの候補とも共存できなければ、その候補をAから削除できます。

1. APEで使うALSの性質

ALS（Almost Locked Set、準ロック集合）は、同じ行・列・ブロック内の Nセルに、候補がちょうど N+1種類ある集合です。

集合全体から1種類を除くとNセルN数字のロック集合になります。異なる2種類を同時に除くと、NセルをN−1種類で埋めることになり不可能です。APEはこの後者を使います。

2. ALSが組合せを否定する条件

A=p、B=q（p ≠ q）と仮定します。黄色のALSが次をすべて満たすなら、この組合せは不可能です。

1. pとqがどちらもALSの候補に含まれる。
2. AがALS内のpの全候補位置を見る。
3. BがALS内のqの全候補位置を見る。

A=pはALS内の全てのpを消し、B=qは全てのqを消します。ALSが異なる2数字を失って埋められなくなるため、(p, q)は成立しません。他の数字だけを含むALSセルは両方から見える必要がなく、pやqがRCCである必要もありません。

3. Type 1：基準セル同士が見える

Type 1では、2つの青セルが同じ行・列・ブロックにあります。

• (x, x) は同じハウスで数字が重複するため直接不可能。
• 異なる (p, q) は、AがALS内の全p、Bが全qを見るときに不可能。

同じ数字の衝突はType 1の証明の一部です。

4. Type 2：基準セル同士が見えない

Type 2では、2つの青セルは互いに見えません。同じ数字を同時に置けるため、(x, x) は可能性として残さなければなりません。

両方に候補xがある場合、他の組合せがすべて否定されてもxは削除できません。Type 2で否定できるのは、異なる2数字を実際のALS矛盾が妨げる組合せだけです。

5. 削除までの手順

Aの候補が1, 4、Bが1, 6, 8だとします。A=4を調べるなら、Bの全候補と組み合わせます。

A	B	矛盾
4	1	ALS Pが4と1を同時に失う
4	6	ALS Qが4と6を同時に失う
4	8	ALS Rが4と8を同時に失う

BにはA=4と共存できる候補がないため、Aから4を削除できます。1つのALSが複数の組合せを否定しても、別々のALSが担当しても構いません。重要なのは全組合せが証明されていることです。B側の候補も逆向きに同様に調べます。

6. ヒントの色

• 青いセル：2つの基準セル。
• 緑の候補：基準セルで組み合わせる候補。
• 黄色いセル：矛盾に実際に使われるALS。
• 黄色い候補：仮定によってALSから同時に失われる2数字。
• 赤い候補：相手側の全候補との組合せが失敗し、削除できる候補。

7. よくある誤り

• 1組だけの否定では足りず、相手セルの全候補を否定する必要があります。
• 各基準セルは、ALS内で自分が仮定した数字の全候補位置を見る必要があります。無関係なALSセルは見えなくても構いません。
• ALSは1つのハウス内のNセルN+1数字でなければなりません。
• 同じ数字が直接衝突するのはType 1だけです。Type 2では許されます。
• 候補が未完成だと「全組合せが失敗」という誤判定を生むため、APEには完全な候補表が必要です。
• APEはペア、ウイング、ALS-XZと同じ削除に重なることがあります。複数の説明を残しても、既定ではより簡単な手筋が優先されます。

要点は一文です。一方の候補を固定し、もう一方の全選択肢を試し、すべて不可能なときだけ削除する。