均衡數對排除（APE）

建議先熟悉：標註候選數 · 數對和數組 · ALS-XZ

APE 是 Aligned Pair Exclusion 的縮寫。它選出兩個藍色基準格，把兩格的候選逐一配對，再排除會造成矛盾的組合。

如果基準格 A 的某個候選，與基準格 B 的每一個候選配搭都不可能成立，就可以從 A 刪除它。

1. APE 用到的 ALS 性質

ALS（近鎖定集）是同一行、列或宮內的 N 個格子，候選並集恰好有 N+1 種數字。

整組少掉一種數字後會變成 N 格 N 數的鎖定集；若同時少掉兩種不同數字，就只剩 N−1 種數字填 N 格，必然無法完成。APE 用後一條結論排除基準格的取值組合。

2. ALS 怎樣排除一個配搭？

假設 A 填 p，B 填另一個數字 q。若一組黃色 ALS 同時滿足：

1. p、q 都在 ALS 的候選並集中；
2. A 看見 ALS 內 p 的每一個候選位置；
3. B 看見 ALS 內 q 的每一個候選位置；

那麼 A=p 會排除 ALS 內所有 p，B=q 會排除所有 q。ALS 一次失去兩種數字，因此 (p, q) 不可能成立。

ALS 中只含其它數字的格子不必同時被兩個基準格看見。這裏也不要求 p、q 是 RCC。APE 檢查的是兩個基準格同時取值會否令一組 ALS 無法填滿。

3. Type 1：兩個基準格互相可見

Type 1 的兩個藍格同處一行、列或宮。

• (x, x) 直接違反同一區域不能重複數字的規則；
• 兩個不同數字 (p, q) 則在 A 看見全部 p、B 看見全部 q 時由 ALS 排除。

所以相同數字衝突是 Type 1 證明的一部分。

4. Type 2：兩個基準格互不可見

Type 2 的兩個藍格不共享行、列或宮，可以同時填相同數字，因此 (x, x) 必須保留為可能。

如果兩格都有候選 x，即使其它配搭全被 ALS 排除，也不能因此刪除 x。Type 2 的每個失敗配搭都必須由兩個不同數字和真實的 ALS 矛盾構成。

5. 由配搭得到刪數

假設 A 有 1、4，B 有 1、6、8。檢查 A=4 時，必須列出：

A	B	矛盾原因
4	1	ALS P 同時失去 4、1
4	6	ALS Q 同時失去 4、6
4	8	ALS R 同時失去 4、8

B 已沒有任何候選能與 A=4 共存，所以可以從 A 刪除 4。不同配搭可以由同一組 ALS 或不同 ALS 排除，重點是不能漏掉任何一項。反方向也要同樣檢查 B 的候選。

6. 提示顏色

• 藍色格子：兩個基準格；
• 綠色候選：基準格中正在配對的候選；
• 黃色格子：實際用於反證的 ALS；
• 黃色候選：反證中被同時排走的兩種數字；
• 紅色候選：與另一格全部候選配搭都失敗，可以刪除。

7. 常見錯誤

• 只排除一個配搭不足以刪數，必須覆蓋另一格的全部候選。
• 每個基準格都必須看見 ALS 內自己所取數字的全部位置；只含其它數字的格子毋須可見。
• ALS 必須是同一區域內 N 格 N+1 數。
• 相同數字只在 Type 1 中直接衝突；Type 2 不衝突。
• 候選不完整會製造假的「全部配搭失敗」，因此 APE 必須在完整候選下判斷。
• APE 可能與數對、翼或 ALS-XZ 得到相同刪數；技巧列表可保留多種解釋，但預設仍優先顯示較簡單技巧。

記住一句話：固定一個候選，窮盡另一格的所有選擇；每條路都不通，才可以刪除。