ALS-XZ

建議先熟悉：標註候選數 · 數對與數組

ALS-XZ 的名稱看起來很抽象，但核心只有一句話：

兩個「只差一步就會鎖定」的候選數組，透過一個受限制的公共候選 X 相連，從而保證另一個公共候選 Z 至少會在其中一組出現。

要真正理解這句話，我們需要依次弄清楚 ALS、RCC、X 和 Z 分別是甚麼。

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1. 甚麼是 ALS？

ALS 是 Almost Locked Set 的縮寫，中文常稱為「近鎖定集」。

一組候選格滿足以下兩個條件時，就是一個 ALS：

1. 這組格子都在同一行、列或宮內，因此彼此可見；
2. 如果共有 N 個格子，它們的候選數合起來恰好只有 N+1 種數字。

例如，兩格中的候選分別是 1、2 和 2、3。這裡有 2 個格子，候選並集是 1、2、3，共 3 種數字，所以它們構成一個 ALS。

普通鎖定集是 N 個格子只有 N 種候選數字。這些格子必須由這 N 個數字填滿，因此每個數字都必須在其中出現一次。

ALS 比鎖定集多出一種候選。只要從整組排除任意一種數字，它就會變成 N 格 N 數的鎖定集，剩下的每個數字都必須出現。

可以把 ALS 記成：N 個互相可見的格子裡有 N+1 種候選；少掉任意一種，就會變成鎖定集。

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2. 甚麼是 RCC？

現在取兩個互不重疊的 ALS，稱為 ALS A 和 ALS B。

如果一個候選數字同時存在於 A、B 中，它就是兩組的公共候選。但公共候選不一定是 RCC。

RCC 是 Restricted Common Candidate 的縮寫，意思是「受限公共候選」。公共候選 X 還必須滿足：

A 中每一個 X 的位置，都能看見 B 中每一個 X 的位置。

最常見的情況是：A、B 中所有 X 都落在同一行、同一列或同一宮。因為同一個區域不能重複出現 X，所以 X 不可能同時在 A、B 中成立。

因此：

• X 最多只會在一組 ALS 中出現；
• 至少有一組 ALS 最終不會填 X；
• 但 X 也可能兩組都不填，因此單 RCC 並不能保證 X 自己一定出現。

沒有填 X 的那組 ALS 會少掉一種候選，隨即變成鎖定集；組內剩下的數字全部都必須出現。

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3. ALS-XZ 是怎樣形成的？

一個標準的單 RCC ALS-XZ 包含：

1. 兩個互不重疊的近鎖定集 ALS A 和 ALS B；
2. 兩組至少有兩個公共候選，記作 X 和 Z；
3. X 是 RCC：X 不可能同時在 A、B 中成立；
4. Z 是另一個公共候選；
5. 某個外部候選 Z 能看見 Z 在 A、B 中的全部可能位置。

在遊戲的提示圖中：

• 藍色格子表示 ALS A；
• 黃色格子表示 ALS B；
• 藍色候選數表示 RCC X；
• 綠色候選數表示被證明至少會出現的 Z；
• 紅色候選數表示可以刪除的候選。

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4. 為甚麼一定能刪除 Z？

X 在 ALS A 中成立

ALS B 不能再填 X。B 去掉 X 後變成鎖定集，因此 Z 必須在 B 中出現。

X 在 ALS B 中成立

同理，ALS A 變成鎖定集，因此 Z 必須在 A 中出現。

A、B 都不填 X

這時 A、B 都會變成鎖定集，Z 會在兩組中分別出現，結論只會更強。

所以無論 X 最終在哪裡：

公共候選 Z 至少會在 ALS A 或 ALS B 中出現一次。

如果一個外部格中的候選 Z，能同時看見 Z 在 A、B 中的所有可能位置，那麼 Z 無論落在哪一組，都會與這個外部候選衝突。因此可以刪除該候選 Z。

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5. 雙 RCC ALS-XZ

有時 ALS A 與 ALS B 有兩個公共候選 X、Y，而且兩者都是 RCC。這稱為雙 RCC，或 Doubly Linked ALS-XZ。

• X 不能同時在 A、B 中成立，所以至少有一組不填 X；
• Y 也不能同時在 A、B 中成立，所以至少有一組不填 Y。

如果同一組同時不填 X 和 Y，它會從 N+1 種候選一下少掉兩種，只剩 N−1 種數字去填 N 個格子，這是不可能的。

因此 A、B 必須各排除一個 RCC，兩組都恰好少掉一種候選，並分別變成鎖定集。

下圖畫出其中一種可能：A 不填 X、B 不填 Y，於是 Y 必須在 A 中出現，X 必須在 B 中出現。實際盤面也可能完全相反，但結論相同。

這會得到更強的結論：

1. X、Y 必須各在 A、B 的其中一組出現，而且一邊一個；
2. A 中其他非 RCC 候選都被鎖定在 A；
3. B 中其他非 RCC 候選都被鎖定在 B。

藍色與綠色標記表示這些必定出現的位置。紅色候選只要能看見同數字的全部保證位置，就可以刪除。

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6. 常見誤區

公共候選就是 RCC？

不是。A 中的每一個 X 都必須看見 B 中的每一個 X。

看見一部分 Z 就可以刪除？

不可以。刪數候選必須看見 Z 在 A、B 中的全部可能位置。

單 RCC 可以刪除 X 嗎？

通常不可以。單 RCC 只證明 X 不能同時在兩組出現，沒有證明 X 至少出現一次。ALS-XZ 刪除的是另一個被保證出現的公共候選 Z。

兩組 ALS 可以共用格子嗎？

不可以。這裡的 ALS A、B 必須互不重疊。

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7. 實戰檢查順序

1. 先看格子：藍色 ALS A、黃色 ALS B 是否各自滿足 N 格 N+1 數；
2. 再看藍色候選 X：A 中每個 X 是否都能看見 B 中每個 X；
3. 找公共候選 Z：Z 是否同時存在於 A、B；
4. 看綠色位置：這些是否為 Z 在兩組中的全部可能位置；
5. 最後看紅色候選：紅色格是否能看見同數字的全部綠色位置。

如果這五步都成立，刪數就是由兩個 ALS 的鎖定關係共同保證的。