ALS-XZ

Empfohlene Vorkenntnisse: Kandidaten · Paare und Teilmengen

ALS-XZ klingt zunächst abstrakt, doch die Grundidee ist einfach:

Zwei Kandidatenmengen, denen nur ein Schritt zur Sperrung fehlt, werden durch einen eingeschränkten gemeinsamen Kandidaten X verbunden. Dadurch ist garantiert, dass ein weiterer gemeinsamer Kandidat Z in mindestens einer der beiden Mengen wahr ist.

Um diesen Satz zu verstehen, betrachten wir der Reihe nach ALS, RCC, X, Z und die Eliminierung.

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1. Was ist ein ALS?

ALS steht für Almost Locked Set, also eine „fast gesperrte Menge“.

Eine Zellgruppe ist ein ALS, wenn:

1. alle Zellen in derselben Zeile, Spalte oder demselben Block liegen und sich deshalb gegenseitig sehen; und
2. N Zellen zusammen genau N+1 verschiedene Kandidaten enthalten.

Zwei Zellen mit den Kandidaten 1,2 und 2,3 enthalten zum Beispiel die drei verschiedenen Ziffern 1,2,3. Zwei Zellen und drei Ziffern bilden ein ALS.

Eine gesperrte Menge hat N Zellen und N Ziffern. Diese N Ziffern müssen die N Zellen füllen, daher muss jede Ziffer genau einmal vorkommen. Ein ALS besitzt nur eine zusätzliche Ziffer. Wird irgendeine Ziffer aus dem gesamten ALS ausgeschlossen, bleiben N Ziffern für N Zellen übrig und das ALS wird gesperrt.

Merksatz: N gegenseitig sichtbare Zellen enthalten N+1 Kandidaten; entfernt man eine beliebige Ziffer aus der Gruppe, wird sie gesperrt.

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2. Was ist ein RCC?

Wir nehmen zwei nicht überlappende ALS und nennen sie ALS A und ALS B.

Eine Ziffer, die in beiden Mengen vorkommt, ist ein gemeinsamer Kandidat. Ein gemeinsamer Kandidat ist jedoch nicht automatisch ein RCC.

RCC steht für Restricted Common Candidate, also „eingeschränkter gemeinsamer Kandidat“. Ein gemeinsamer Kandidat X ist eingeschränkt, wenn:

Jede X-Position in A jede X-Position in B sieht.

Meist liegen alle X-Positionen in derselben Zeile, Spalte oder demselben Block. In einem solchen Bereich darf X nur einmal vorkommen, also kann X nicht gleichzeitig in beiden ALS wahr sein.

Daraus folgt exakt:

• X kann in höchstens einem ALS wahr sein;
• mindestens eines der beiden ALS verwendet X daher nicht;
• X kann auch in beiden ALS fehlen, deshalb beweist ein einzelner RCC nicht, dass X selbst vorkommen muss.

Das ALS ohne X verliert einen Kandidaten und wird zu einer gesperrten Menge. Jede verbleibende Ziffer dieses ALS muss dann vorkommen.

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3. Wie entsteht ALS-XZ?

Ein ALS-XZ mit einem RCC besteht aus:

1. zwei nicht überlappenden fast gesperrten Mengen A und B;
2. mindestens zwei gemeinsamen Kandidaten, genannt X und Z;
3. X als RCC, sodass X nicht in beiden Mengen gleichzeitig wahr sein kann;
4. Z als weiterem gemeinsamen Kandidaten; und
5. einem äußeren Z, das jede mögliche Z-Position in A und B sieht.

In der Hinweisgrafik bedeuten:

• blaue Zellen: ALS A;
• gelbe Zellen: ALS B;
• blaue Kandidaten: RCC X;
• grüne Kandidaten: die garantierten Z-Positionen;
• rote Kandidaten: Eliminierungen.

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4. Warum darf Z eliminiert werden?

Wir betrachten alle möglichen Lagen von X.

X ist in A wahr

B kann X nicht verwenden. B wird gesperrt, daher kommt jede verbleibende Ziffer in B vor – einschließlich Z.

X ist in B wahr

A kann X nicht verwenden. A wird gesperrt, daher kommt Z in A vor.

Keines der beiden ALS verwendet X

Beide Mengen werden gesperrt, daher kommt Z in beiden vor. Das verstärkt die Aussage nur.

In jedem Fall gilt:

Z kommt mindestens einmal in ALS A oder ALS B vor.

Ein äußeres Z, das alle Z-Positionen beider Mengen sieht, gerät unabhängig davon in Konflikt, welche Menge Z liefert. Dieser äußere Kandidat kann daher eliminiert werden.

Deshalb genügt es nicht, nur einige Z-Positionen zu sehen: Vor dem Lösen des Musters wissen wir nicht, welches ALS gesperrt wird.

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5. Doppelt verknüpftes ALS-XZ

Manchmal teilen A und B zwei RCCs, X und Y. Jeder RCC muss in mindestens einer der beiden Mengen fehlen.

Dasselbe ALS kann nicht sowohl X als auch Y ausschließen. Es würde zwei Ziffern aus einem ALS mit N+1 Ziffern verlieren und hätte nur noch N−1 Ziffern für N Zellen – damit lässt sich die Menge nicht füllen.

Die Ausschlüsse müssen sich deshalb aufteilen:

• A schließt einen RCC aus;
• B schließt den anderen RCC aus;
• beide ALS verlieren genau eine Ziffer und werden gesperrt.

Die Abbildung zeigt eine mögliche Aufteilung: A schließt X aus und B schließt Y aus. Dadurch wird Y in A und X in B erzwungen. Die umgekehrte Aufteilung funktioniert genauso.

Daraus folgen stärkere Aussagen:

1. X und Y erscheinen jeweils genau einmal über A und B verteilt, je einer in jeder Menge;
2. jede Nicht-RCC-Ziffer in A ist in A gesperrt;
3. jede Nicht-RCC-Ziffer in B ist in B gesperrt.

Blaue RCC-Markierungen und grüne Nicht-RCC-Markierungen zeigen diese garantierten Positionen. Ein roter Kandidat, der jede markierte Position seiner eigenen Ziffer sieht, kann eliminiert werden.

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6. Häufige Fehler

Jeder gemeinsame Kandidat ist ein RCC

Nein. Jedes X in A muss jedes X in B sehen.

Ein sichtbares Z in jeder Menge genügt

Nein. Die Eliminierung muss jede mögliche Z-Position in beiden Mengen sehen.

Ein einzelner RCC beweist, dass X vorkommen muss

Nein. X kann in beiden ALS fehlen. Ein ALS-XZ mit einem RCC eliminiert den anderen garantierten gemeinsamen Kandidaten Z, nicht X.

Die beiden ALS dürfen Zellen gemeinsam haben

Nicht bei dem hier beschriebenen ALS-XZ. A und B dürfen sich nicht überlappen.

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7. Einen ALS-XZ-Hinweis lesen

1. Prüfe das blaue ALS A und das gelbe ALS B: Jede Gruppe muss bei N Zellen genau N+1 Ziffern enthalten.
2. Prüfe das blaue X: Jedes X in A muss jedes X in B sehen.
3. Finde den gemeinsamen Kandidaten Z in beiden Mengen.
4. Vergewissere dich, dass die grünen Markierungen jede mögliche Z-Position in A und B enthalten.
5. Prüfe, ob jeder rote Kandidat jede grüne Position derselben Ziffer sieht.

Sind alle fünf Punkte erfüllt, folgt die Eliminierung aus den beiden möglichen gesperrten Mengen und nicht aus einer Vermutung.