ALS-XZ

Рекомендуем сначала прочитать: Кандидаты · Пары и подмножества

ALS-XZ может показаться сложным, но его основная идея проста:

Два множества кандидатов, которым не хватает одного шага до блокировки, связываются ограниченным общим кандидатом X. Это гарантирует, что другой общий кандидат Z истинен хотя бы в одном из множеств.

Чтобы понять эту идею, разберём по порядку ALS, RCC, X, Z и исключение.

---

1. Что такое ALS?

ALS означает Almost Locked Set, то есть «почти заблокированное множество».

Группа клеток является ALS, если:

1. все клетки находятся в одной строке, столбце или блоке и поэтому видят друг друга;
2. N клеток вместе содержат ровно N+1 различных цифр-кандидатов.

Например, две клетки с кандидатами 1,2 и 2,3 содержат три различные цифры: 1,2,3. Две клетки и три цифры образуют ALS.

Заблокированное множество состоит из N клеток и N цифр. Эти N цифр должны заполнить N клеток, поэтому каждая из них обязана встретиться. В ALS есть лишь одна лишняя цифра. Если исключить любую цифру из всего ALS, останутся N цифр для N клеток, и множество станет заблокированным.

Запомните ALS так: N взаимно видящих клеток содержат N+1 кандидатов; удалите из группы любую цифру — и она станет заблокированной.

---

2. Что такое RCC?

Возьмём два непересекающихся ALS и назовём их ALS A и ALS B.

Цифра, встречающаяся в обоих множествах, называется общим кандидатом, но не каждый общий кандидат является RCC.

RCC означает Restricted Common Candidate, или «ограниченный общий кандидат». Общий кандидат X является ограниченным, если:

Каждая позиция X в A видит каждую позицию X в B.

Чаще всего все эти позиции X находятся в одной строке, столбце или блоке. В такой области X может встретиться только один раз, поэтому X не может быть истинным одновременно в обоих ALS.

Отсюда следует:

• X может быть истинным не более чем в одном ALS;
• следовательно, хотя бы одно из двух ALS не использует X;
• X может отсутствовать и в обоих ALS, поэтому один RCC не доказывает, что X обязательно должен появиться.

ALS без X теряет одного кандидата и становится заблокированным. Все оставшиеся в нём цифры должны появиться.

---

3. Как образуется ALS-XZ?

ALS-XZ с одним RCC включает:

1. два непересекающихся почти заблокированных множества A и B;
2. не менее двух общих кандидатов, обозначенных X и Z;
3. X в роли RCC, поэтому он не может быть истинным в обоих множествах;
4. Z в роли другого общего кандидата;
5. внешний Z, который видит все возможные позиции Z и в A, и в B.

На схеме подсказки:

• синие клетки — ALS A;
• жёлтые клетки — ALS B;
• синие кандидаты — RCC X;
• зелёные кандидаты — гарантированные позиции Z;
• красные кандидаты — исключения.

---

4. Почему Z можно исключить?

Рассмотрим все возможные положения X.

X истинен в A

B не может использовать X. B становится заблокированным, поэтому все оставшиеся в нём цифры, включая Z, должны появиться.

X истинен в B

A не может использовать X. A становится заблокированным, поэтому Z появляется в A.

Ни одно ALS не использует X

Оба множества становятся заблокированными, поэтому Z появляется в обоих. Это лишь усиливает вывод.

Во всех случаях:

Z появляется хотя бы один раз в ALS A или ALS B.

Внешний Z, который видит все позиции Z в обоих множествах, конфликтует с Z независимо от того, в каком ALS тот окажется. Поэтому внешний кандидат можно исключить.

Видеть только некоторые позиции Z недостаточно: до решения конструкции мы не знаем, какое ALS станет заблокированным.

---

5. Дважды связанный ALS-XZ

Иногда A и B имеют два общих RCC — X и Y. Каждый RCC должен отсутствовать хотя бы в одном из множеств.

Одно и то же ALS не может исключить одновременно X и Y. Тогда оно потеряло бы две цифры из N+1 и для N клеток осталось бы всего N−1 цифр, чего недостаточно для заполнения множества.

Поэтому исключения должны разделиться:

• A исключает один RCC;
• B исключает другой RCC;
• оба ALS теряют ровно по одной цифре и становятся заблокированными.

На схеме показан один из вариантов: A исключает X, а B исключает Y, поэтому Y фиксируется в A, а X — в B. Обратное распределение работает точно так же.

Это даёт более сильные выводы:

1. X и Y встречаются ровно по одному разу среди A и B, по одному в каждом множестве;
2. каждая цифра A, не являющаяся RCC, заблокирована внутри A;
3. каждая цифра B, не являющаяся RCC, заблокирована внутри B.

Синие отметки RCC и зелёные отметки остальных кандидатов показывают эти гарантированные позиции. Красного кандидата, который видит все отмеченные позиции своей цифры, можно исключить.

---

6. Частые ошибки

Любой общий кандидат является RCC

Нет. Каждый X в A должен видеть каждый X в B.

Достаточно видеть один Z в каждом множестве

Нет. Исключаемый кандидат должен видеть все возможные позиции Z в обоих множествах.

Один RCC доказывает, что X должен появиться

Нет. X может отсутствовать в обоих ALS. ALS-XZ с одним RCC исключает другой гарантированный общий кандидат Z, а не X.

Два ALS могут иметь общие клетки

Не в описанном здесь ALS-XZ. A и B не должны пересекаться.

---

7. Как читать подсказку ALS-XZ

1. Проверьте синее ALS A и жёлтое ALS B: в каждом должно быть N клеток и N+1 цифр.
2. Проверьте синий X: каждый X в A должен видеть каждый X в B.
3. Найдите общий кандидат Z в обоих множествах.
4. Убедитесь, что зелёным отмечены все возможные позиции Z в A и B.
5. Убедитесь, что каждый красный кандидат видит все зелёные позиции той же цифры.

Если все пять условий выполнены, исключение следует из двух вариантов блокировки, а не из предположения.