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ALS-XZ
ALS-XZ는 추상적으로 들리지만 핵심 원리는 간단합니다.
잠긴 집합이 되기까지 한 단계만 남은 두 후보 집합을 제한된 공통 후보 X로 연결합니다. 그러면 또 다른 공통 후보 Z가 두 집합 중 적어도 하나에서 참임이 보장됩니다.
이 원리를 이해하기 위해 ALS, RCC, X, Z, 후보 제거의 순서로 살펴보겠습니다.
1. ALS란 무엇인가요?
ALS는 Almost Locked Set(거의 잠긴 집합)의 약자입니다.
다음 조건을 만족하는 셀 묶음이 ALS입니다.
- 모든 셀이 같은 행, 열 또는 박스에 있어 서로 볼 수 있고,
- N개의 셀에 서로 다른 후보 숫자가 정확히 N+1개 있습니다.
예를 들어 후보가 1,2인 셀과 2,3인 셀에는 모두 1,2,3의 세 숫자가 있습니다. 셀 2개와 숫자 3개이므로 ALS입니다.
잠긴 집합은 N개의 셀과 N개의 숫자로 이루어집니다. N개의 숫자가 N개의 셀을 채워야 하므로 각 숫자는 반드시 나타납니다. ALS에는 숫자가 하나 더 있을 뿐입니다. ALS 전체에서 어떤 숫자 하나를 제외하면 N개의 셀에 N개의 숫자가 남아 잠긴 집합이 됩니다.
ALS는 이렇게 기억하세요: 서로 보이는 N개 셀에 N+1개 후보 숫자가 있고, 그중 아무 숫자나 하나 제거하면 잠긴 집합이 된다.
2. RCC란 무엇인가요?
서로 겹치지 않는 두 ALS를 ALS A와 ALS B라고 하겠습니다.
두 집합에 모두 있는 숫자는 공통 후보이지만, 모든 공통 후보가 RCC인 것은 아닙니다.
RCC는 Restricted Common Candidate(제한된 공통 후보)의 약자입니다. 공통 후보 X가 RCC가 되려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
A의 모든 X 위치가 B의 모든 X 위치를 볼 수 있어야 합니다.
대부분 이 X 위치들은 같은 행, 열 또는 박스를 공유합니다. 그 구역에는 X가 하나만 들어갈 수 있으므로 X는 두 ALS에서 동시에 참일 수 없습니다.
여기서 정확히 알 수 있는 것은 다음과 같습니다.
- X는 많아야 한 ALS에서만 참입니다.
- 따라서 적어도 한 ALS는 X를 사용하지 않습니다.
- X가 두 ALS 모두에서 빠질 수도 있으므로 RCC 하나만으로 X가 반드시 나타난다고 할 수는 없습니다.
X가 빠진 ALS는 후보 숫자 하나를 잃고 잠긴 집합이 됩니다. 그 ALS에 남은 모든 숫자는 반드시 나타납니다.
3. ALS-XZ는 어떻게 만들어지나요?
RCC가 하나인 ALS-XZ는 다음 요소로 이루어집니다.
- 서로 겹치지 않는 두 개의 거의 잠긴 집합 A와 B,
- X와 Z라고 부르는 두 개 이상의 공통 후보,
- 두 집합에서 동시에 참일 수 없는 RCC X,
- 또 다른 공통 후보 Z,
- A와 B에 있는 Z의 모든 가능한 위치를 보는 외부 Z.
힌트 그림의 색은 다음을 뜻합니다.
- 파란색 셀은 ALS A,
- 노란색 셀은 ALS B,
- 파란색 후보는 RCC X,
- 초록색 후보는 참이 보장되는 Z 위치,
- 빨간색 후보는 제거할 후보입니다.
4. 왜 Z를 제거할 수 있나요?
X가 놓일 수 있는 모든 경우를 생각해 봅시다.
X가 A에서 참인 경우
B는 X를 사용할 수 없습니다. B는 잠긴 집합이 되므로 Z를 포함한 나머지 숫자가 모두 나타납니다.
X가 B에서 참인 경우
A는 X를 사용할 수 없습니다. A는 잠긴 집합이 되므로 Z가 A에 나타납니다.
어느 ALS도 X를 사용하지 않는 경우
두 집합 모두 잠기므로 Z가 양쪽에 나타납니다. 이는 결론을 더 강하게 만들 뿐입니다.
어느 경우든 다음이 성립합니다.
Z는 ALS A 또는 ALS B 중 적어도 하나에 반드시 나타납니다.
두 집합의 모든 Z 위치를 보는 외부 Z는 어느 집합에서 Z가 참이 되더라도 충돌합니다. 따라서 그 외부 후보를 제거할 수 있습니다.
일부 Z 위치만 보는 것으로는 부족합니다. 패턴을 풀기 전에는 어느 ALS가 잠길지 알 수 없기 때문입니다.
5. 이중 연결 ALS-XZ
A와 B가 X와 Y라는 두 RCC를 공유하는 경우가 있습니다. 각 RCC는 적어도 한 집합에서 제외되어야 합니다.
같은 ALS가 X와 Y를 모두 제외할 수는 없습니다. N+1개 숫자를 가진 ALS에서 두 숫자를 잃으면 N개 셀을 채울 숫자가 N−1개만 남아 집합을 완성할 수 없기 때문입니다.
따라서 제외되는 숫자는 다음처럼 나뉘어야 합니다.
- A가 RCC 하나를 제외하고,
- B가 다른 RCC를 제외하며,
- 두 ALS 모두 정확히 숫자 하나씩을 잃고 잠긴 집합이 됩니다.
그림은 가능한 한 가지 경우를 보여 줍니다. A가 X를 제외하고 B가 Y를 제외하면 A에서는 Y, B에서는 X가 강제됩니다. 반대로 나뉘어도 원리는 같습니다.
따라서 더 강한 결론을 얻습니다.
- X와 Y는 A와 B 전체에서 각각 정확히 한 번 나타나며 각 집합에 하나씩 들어갑니다.
- A의 RCC가 아닌 모든 숫자는 A 안에 잠깁니다.
- B의 RCC가 아닌 모든 숫자는 B 안에 잠깁니다.
파란색 RCC 표시와 초록색 비 RCC 표시는 이렇게 보장된 위치를 보여 줍니다. 같은 숫자의 표시된 위치를 모두 보는 빨간색 후보는 제거할 수 있습니다.
6. 자주 하는 실수
모든 공통 후보는 RCC이다
아닙니다. A의 모든 X가 B의 모든 X를 봐야 합니다.
각 집합에서 Z 하나씩만 보면 충분하다
아닙니다. 제거할 후보는 두 집합에 있는 Z의 모든 가능한 위치를 봐야 합니다.
RCC 하나는 X가 반드시 나타남을 증명한다
아닙니다. X가 두 ALS 모두에서 빠질 수도 있습니다. RCC가 하나인 ALS-XZ가 제거하는 것은 X가 아니라, 참이 보장된 다른 공통 후보 Z입니다.
두 ALS가 셀을 공유해도 된다
여기서 설명하는 ALS-XZ에서는 안 됩니다. A와 B는 겹치지 않아야 합니다.
7. ALS-XZ 힌트 읽는 순서
- 파란색 ALS A와 노란색 ALS B를 확인합니다. 각각 N개 셀에 N+1개 숫자가 있어야 합니다.
- 파란색 X를 확인합니다. A의 모든 X가 B의 모든 X를 봐야 합니다.
- 두 집합에 공통으로 있는 후보 Z를 찾습니다.
- 초록색 표시가 A와 B에 있는 Z의 모든 가능한 위치를 포함하는지 확인합니다.
- 각 빨간색 후보가 같은 숫자의 초록색 위치를 모두 보는지 확인합니다.
다섯 조건이 모두 맞으면, 그 제거는 추측이 아니라 두 가지 잠금 가능성에서 따라옵니다.