ALS-XZ

À connaître au préalable : Candidats · Paires et sous-ensembles

ALS-XZ peut sembler abstrait, mais son idée centrale est simple :

Deux ensembles de candidats auxquels il ne manque qu'une étape pour être verrouillés sont reliés par un candidat commun restreint X. Cela garantit qu'un autre candidat commun Z est vrai dans au moins l'un des deux ensembles.

Pour comprendre cette phrase, examinons dans l'ordre l'ALS, le RCC, X, Z et l'élimination.

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1. Qu'est-ce qu'un ALS ?

ALS signifie Almost Locked Set, ou « ensemble presque verrouillé ».

Un groupe de cases est un ALS lorsque :

1. toutes les cases appartiennent à une même ligne, colonne ou région et se voient donc mutuellement ; et
2. N cases contiennent au total exactement N+1 chiffres candidats distincts.

Par exemple, deux cases contenant les candidats 1,2 et 2,3 réunissent trois chiffres distincts : 1,2,3. Deux cases et trois chiffres forment un ALS.

Un ensemble verrouillé comporte N cases et N chiffres. Ces N chiffres doivent remplir les N cases : chacun doit donc apparaître. Un ALS ne possède qu'un chiffre supplémentaire. Si l'on exclut n'importe quel chiffre de tout l'ALS, il reste N chiffres pour N cases et l'ensemble devient verrouillé.

Retenez l'ALS ainsi : N cases qui se voient mutuellement contiennent N+1 candidats ; retirez un chiffre du groupe et il devient verrouillé.

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2. Qu'est-ce qu'un RCC ?

Prenons deux ALS sans case commune, appelés ALS A et ALS B.

Un chiffre présent dans les deux ensembles est un candidat commun, mais tout candidat commun n'est pas forcément un RCC.

RCC signifie Restricted Common Candidate, ou « candidat commun restreint ». Un candidat commun X est restreint lorsque :

Chaque position de X dans A voit toutes les positions de X dans B.

Le plus souvent, toutes ces positions de X partagent une même ligne, colonne ou région. Cette unité ne peut contenir X qu'une seule fois : X ne peut donc pas être vrai dans les deux ALS à la fois.

On peut en conclure précisément que :

• X peut être vrai dans un seul ALS au maximum ;
• au moins un des deux ALS n'utilise donc pas X ;
• X peut aussi être absent des deux ALS : un seul RCC ne prouve pas que X doive apparaître.

L'ALS privé de X perd un candidat et devient verrouillé. Tous les chiffres qui lui restent doivent apparaître.

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3. Comment se forme ALS-XZ ?

Un ALS-XZ à RCC unique comprend :

1. deux ensembles presque verrouillés A et B sans case commune ;
2. au moins deux candidats communs, appelés X et Z ;
3. X comme RCC, ce qui l'empêche d'être vrai dans les deux ensembles ;
4. Z comme autre candidat commun ; et
5. un Z extérieur qui voit toutes les positions possibles de Z dans A et dans B.

Dans le schéma de l'indice :

• les cases bleues forment l'ALS A ;
• les cases jaunes forment l'ALS B ;
• les candidats bleus représentent le RCC X ;
• les candidats verts sont les positions garanties de Z ;
• les candidats rouges sont les éliminations.

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4. Pourquoi peut-on éliminer Z ?

Examinons toutes les possibilités pour X.

X est vrai dans A

B ne peut pas utiliser X. B devient verrouillé : tous ses chiffres restants doivent apparaître, y compris Z.

X est vrai dans B

A ne peut pas utiliser X. A devient verrouillé : Z apparaît donc dans A.

Aucun des deux ALS n'utilise X

Les deux ensembles deviennent verrouillés, donc Z apparaît dans chacun d'eux. Cela ne fait que renforcer la conclusion.

Dans tous les cas :

Z apparaît au moins une fois dans l'ALS A ou l'ALS B.

Un Z extérieur qui voit toutes les positions de Z des deux ensembles entre en conflit avec Z, quel que soit l'ALS qui le fournit. Ce candidat extérieur peut donc être éliminé.

Voir seulement certaines positions de Z ne suffit pas : avant de résoudre la figure, nous ignorons quel ALS deviendra verrouillé.

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5. ALS-XZ doublement lié

Il arrive que A et B partagent deux RCC, X et Y. Chacun de ces RCC doit être absent d'au moins un ensemble.

Un même ALS ne peut pas exclure à la fois X et Y. Il perdrait deux chiffres sur les N+1 de l'ALS et il ne resterait que N−1 chiffres pour N cases, ce qui ne peut pas remplir l'ensemble.

Les exclusions doivent donc se répartir :

• A exclut l'un des RCC ;
• B exclut l'autre ;
• chaque ALS perd exactement un chiffre et devient verrouillé.

Le schéma montre une répartition possible : A exclut X et B exclut Y, ce qui force Y dans A et X dans B. La répartition inverse fonctionne exactement de la même manière.

On obtient alors des conclusions plus fortes :

1. X et Y apparaissent chacun exactement une fois entre A et B, l'un dans chaque ensemble ;
2. chaque chiffre qui n'est pas un RCC dans A est verrouillé dans A ;
3. chaque chiffre qui n'est pas un RCC dans B est verrouillé dans B.

Les marques bleues des RCC et les marques vertes des autres candidats indiquent ces positions garanties. Un candidat rouge qui voit toutes les positions marquées de son propre chiffre peut être éliminé.

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6. Erreurs fréquentes

Tout candidat commun est un RCC

Non. Chaque X de A doit voir toutes les X de B.

Voir un Z dans chaque ensemble suffit

Non. L'élimination doit voir toutes les positions possibles de Z dans les deux ensembles.

Un seul RCC prouve que X doit apparaître

Non. X peut être absent des deux ALS. Un ALS-XZ à RCC unique élimine l'autre candidat commun garanti Z, et non X.

Les deux ALS peuvent partager des cases

Pas dans l'ALS-XZ décrit ici. A et B ne doivent pas se chevaucher.

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7. Lire un indice ALS-XZ

1. Vérifiez l'ALS A bleu et l'ALS B jaune : chacun doit comporter N cases et N+1 chiffres.
2. Vérifiez le X bleu : chaque X de A doit voir tous les X de B.
3. Repérez le candidat commun Z dans les deux ensembles.
4. Assurez-vous que les marques vertes couvrent toutes les positions possibles de Z dans A et B.
5. Assurez-vous que chaque candidat rouge voit toutes les positions vertes du même chiffre.

Si ces cinq points sont vérifiés, l'élimination découle des deux possibilités de verrouillage et non d'une supposition.