ALS-XZ

Recomendamos ler primeiro: Candidatos · Pares e subconjuntos

ALS-XZ pode parecer abstrato, mas a ideia central é simples:

Dois conjuntos de candidatos que estão a um passo de ficar bloqueados são ligados por um candidato comum restrito X. Isso garante que outro candidato comum Z seja verdadeiro em pelo menos um dos conjuntos.

Para entender essa afirmação, veremos em ordem o ALS, o RCC, X, Z e a eliminação.

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1. O que é um ALS?

ALS significa Almost Locked Set, ou “conjunto quase bloqueado”.

Um grupo de células é um ALS quando:

1. todas as células estão na mesma linha, coluna ou bloco e, portanto, enxergam umas às outras; e
2. N células contêm, ao todo, exatamente N+1 dígitos candidatos distintos.

Por exemplo, duas células com candidatos 1,2 e 2,3 contêm três dígitos distintos: 1,2,3. Duas células e três dígitos formam um ALS.

Um conjunto bloqueado tem N células e N dígitos. Esses N dígitos precisam ocupar as N células, então todos devem aparecer. Um ALS tem apenas um dígito a mais. Se qualquer dígito for excluído de todo o ALS, restam N dígitos para N células e o conjunto fica bloqueado.

Lembre-se do ALS assim: N células que se enxergam contêm N+1 candidatos; remova qualquer dígito do grupo e ele se torna bloqueado.

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2. O que é um RCC?

Considere dois ALS que não se sobrepõem, chamados ALS A e ALS B.

Um dígito presente nos dois conjuntos é um candidato comum, mas nem todo candidato comum é um RCC.

RCC significa Restricted Common Candidate, ou “candidato comum restrito”. Um candidato comum X é restrito quando:

Cada posição de X em A enxerga todas as posições de X em B.

Na maioria das vezes, todas essas posições de X compartilham uma linha, coluna ou bloco. Essa unidade só pode conter X uma vez, portanto X não pode ser verdadeiro nos dois ALS ao mesmo tempo.

A conclusão exata é:

• X pode ser verdadeiro em, no máximo, um ALS;
• portanto, pelo menos um dos ALS não usa X;
• X também pode não aparecer em nenhum dos dois ALS, então um único RCC não prova que X precisa aparecer.

O ALS sem X perde um candidato e se torna um conjunto bloqueado. Todos os dígitos restantes desse ALS devem aparecer.

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3. Como o ALS-XZ é formado?

Um ALS-XZ com um único RCC contém:

1. dois conjuntos quase bloqueados A e B que não se sobrepõem;
2. pelo menos dois candidatos comuns, chamados X e Z;
3. X como RCC, de modo que não possa ser verdadeiro nos dois conjuntos;
4. Z como outro candidato comum; e
5. um Z externo que enxerga todas as posições possíveis de Z em A e B.

No diagrama da dica:

• as células azuis são o ALS A;
• as células amarelas são o ALS B;
• os candidatos azuis são o RCC X;
• os candidatos verdes são as posições garantidas de Z;
• os candidatos vermelhos são as eliminações.

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4. Por que Z pode ser eliminado?

Considere todas as possibilidades para X.

X é verdadeiro em A

B não pode usar X. B fica bloqueado, então todos os seus dígitos restantes aparecem, inclusive Z.

X é verdadeiro em B

A não pode usar X. A fica bloqueado, então Z aparece em A.

Nenhum dos ALS usa X

Os dois conjuntos ficam bloqueados, então Z aparece em ambos. Isso apenas reforça a conclusão.

Em todos os casos:

Z aparece pelo menos uma vez no ALS A ou no ALS B.

Um Z externo que enxerga todas as posições de Z dos dois conjuntos entra em conflito com Z, independentemente de qual conjunto o contenha. Portanto, esse candidato externo pode ser eliminado.

Enxergar apenas algumas posições de Z não basta: antes de resolver o padrão, não sabemos qual ALS ficará bloqueado.

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5. ALS-XZ duplamente ligado

Às vezes, A e B compartilham dois RCC, X e Y. Cada RCC deve estar ausente de pelo menos um dos conjuntos.

O mesmo ALS não pode excluir X e Y ao mesmo tempo. Ele perderia dois dígitos de um ALS com N+1 dígitos e ficaria com apenas N−1 dígitos para N células, o que não é suficiente para preencher o conjunto.

Portanto, as exclusões precisam ser divididas:

• A exclui um dos RCC;
• B exclui o outro RCC;
• cada ALS perde exatamente um dígito e fica bloqueado.

O diagrama mostra uma divisão possível: A exclui X e B exclui Y, forçando Y em A e X em B. A divisão oposta funciona exatamente da mesma forma.

Isso permite conclusões mais fortes:

1. X e Y aparecem exatamente uma vez entre A e B, um em cada conjunto;
2. cada dígito que não é RCC em A fica bloqueado em A;
3. cada dígito que não é RCC em B fica bloqueado em B.

As marcas azuis dos RCC e as marcas verdes dos demais candidatos mostram essas posições garantidas. Um candidato vermelho que enxergue todas as posições marcadas do seu próprio dígito pode ser eliminado.

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6. Erros comuns

Todo candidato comum é um RCC

Não. Cada X em A precisa enxergar todos os X em B.

Enxergar um Z em cada conjunto é suficiente

Não. A eliminação precisa enxergar todas as posições possíveis de Z nos dois conjuntos.

Um único RCC prova que X deve aparecer

Não. X pode estar ausente dos dois ALS. Um ALS-XZ com um único RCC elimina o outro candidato comum garantido Z, não X.

Os dois ALS podem compartilhar células

Não no ALS-XZ descrito aqui. A e B não podem se sobrepor.

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7. Como ler uma dica ALS-XZ

1. Verifique o ALS A azul e o ALS B amarelo: cada um deve ter N células e N+1 dígitos.
2. Verifique o X azul: cada X em A deve enxergar todos os X em B.
3. Encontre o candidato comum Z nos dois conjuntos.
4. Confirme que as marcas verdes incluem todas as posições possíveis de Z em A e B.
5. Confirme que cada candidato vermelho enxerga todas as posições verdes do mesmo dígito.

Quando os cinco itens são verdadeiros, a eliminação vem das duas possibilidades de conjunto bloqueado, e não de uma suposição.