ALS-XZ

建议先熟悉：标注候选数 · 数对和数组

ALS-XZ 的名字看起来很抽象，但它的核心只有一句话：

两个“只差一步就会锁定”的候选数组，通过一个受限制的公共候选 X 相连，从而保证另一个公共候选 Z 至少会在其中一组出现。

要真正理解这句话，我们需要依次弄清楚 ALS、RCC、X 和 Z 分别是什么。

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1. 什么是 ALS？

ALS 是 Almost Locked Set 的缩写，中文常称为“近锁定集”。

一组候选格满足下面两个条件时，就是一个 ALS：

1. 这组格子都在同一个行、列或宫内，因此彼此可见；
2. 如果共有 N 个格子，它们的候选数合起来恰好只有 N+1 种数字。

例如，两格中的候选分别是 1、2 和 2、3。这里有 2 个格子，候选并集是 1、2、3，共 3 种数字，所以它们构成一个 ALS。

为什么叫“近锁定集”？

普通锁定集是 N 个格子只有 N 种候选数字。这些格子必须由这 N 个数字填满，因此每个数字都必须在其中出现一次。

ALS 比锁定集多出一种候选：N 个格子有 N+1 种数字。只要从整组中排除任意一种数字，它就会变成 N 格 N 数的锁定集。

以上面的 1、2、3 为例：

• 如果整组不填 1，剩下 2、3 填两格；
• 如果整组不填 2，剩下 1、3 填两格；
• 如果整组不填 3，剩下 1、2 填两格。

无论排除哪一种，剩下的每个数字都必须出现。这正是 ALS-XZ 推理的基础。

可以把 ALS 记成：N 个互相可见的格子里有 N+1 种候选；少掉任意一种，就会变成锁定集。

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2. 什么是 RCC？

现在取两个互不重叠的 ALS，称为 ALS A 和 ALS B。

如果一个候选数字同时存在于 A、B 中，它就是两组的公共候选。但公共候选不一定是 RCC。

RCC 是 Restricted Common Candidate 的缩写，意思是“受限公共候选”。公共候选 X 还必须满足：

A 中每一个 X 的位置，都能看见 B 中每一个 X 的位置。

最常见的情况是：A、B 中所有 X 都落在同一行、同一列或同一宫。因为同一个区域不能重复出现 X，所以 X 不可能同时在 A、B 中成立。

因此，RCC X 有一个非常重要、也很容易被误读的结论：

• X 最多只会在一组 ALS 中出现；
• 所以至少有一组 ALS 最终不会填 X；
• 但 X 也可能两组都不填，因此单 RCC 并不能保证 X 自己一定出现。

没有填 X 的那组 ALS 会少掉一种候选，随即变成锁定集；组内剩下的数字全部都必须出现。

判断 RCC 时，不能只检查一对 X。必须确认 A 中的每一个 X都能看见 B 中的每一个 X。

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3. ALS-XZ 是怎样形成的？

一个标准的单 RCC ALS-XZ 包含：

1. 两个互不重叠的近锁定集 ALS A 和 ALS B；
2. 两组至少有两个公共候选，记作 X 和 Z；
3. X 是 RCC：X 不可能同时在 A、B 中成立；
4. Z 是另一个公共候选；
5. 某个外部候选 Z 能看见 Z 在 A、B 中的全部可能位置。

在游戏的提示图中：

• 蓝色格子表示 ALS A；
• 黄色格子表示 ALS B；
• 蓝色候选数表示 RCC X；
• 绿色候选数表示被证明至少会出现的 Z；
• 红色候选数表示可以删除的候选。

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4. 为什么一定能删除 Z？

关键不是猜 X 在哪一组，而是把所有可能都考虑进去。

情况一：X 在 ALS A 中成立

由于 X 是 RCC，ALS B 不能再填 X。B 去掉 X 后变成锁定集，因此 B 中剩下的数字都必须出现，其中包括公共候选 Z。

所以这种情况下，Z 必须在 B 中出现。

情况二：X 在 ALS B 中成立

同理，ALS A 不能填 X。A 变成锁定集，因此 Z 必须在 A 中出现。

情况三：A、B 都不填 X

这时 A、B 都会变成锁定集，Z 会在两组中分别出现。结论只会更强。

把三种情况合起来，无论 X 最终在哪里：

公共候选 Z 至少会在 ALS A 或 ALS B 中出现一次。

如果一个外部格中的候选 Z，能同时看见 Z 在 A、B 中的所有可能位置，那么 Z 无论落在哪一组，都会与这个外部候选冲突。因此可以从该格删除 Z。

这也解释了为什么删数格必须看见两组中的全部 Z：只看见 A 中的 Z 或 B 中的 Z 都不够，因为我们事先不知道哪一组会成为锁定集。

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5. 双 RCC ALS-XZ

有时 ALS A 与 ALS B 有两个公共候选 X、Y，而且 X、Y 都是 RCC。这称为双 RCC，或 Doubly Linked ALS-XZ。

先看每个 RCC 自己：

• X 不能同时在 A、B 中成立，所以至少有一组不填 X；
• Y 也不能同时在 A、B 中成立，所以至少有一组不填 Y。

如果同一组同时不填 X 和 Y，它会从 N+1 种候选一下少掉两种，只剩 N−1 种数字去填 N 个格子，这是不可能的。

因此两个“缺席”不能落在同一组：

• A 必须排除其中一个 RCC；
• B 必须排除另一个 RCC；
• A、B 都恰好少掉一种候选，所以两组都会变成锁定集。

下图画出其中一种可能：A 不填 X、B 不填 Y，于是 Y 必须在 A 中出现，X 必须在 B 中出现。实际盘面也可能完全反过来，但结论相同。

于是我们得到比单 RCC 更强的结论：

1. X、Y 必须各在 A、B 的其中一组出现，而且一边一个；
2. A 中其它非 RCC 候选都被锁定在 A；
3. B 中其它非 RCC 候选都被锁定在 B。

这就是提示图中两种保证标记的含义：

• 蓝色标记的 RCC 数字，必在 A、B 的某个蓝色位置出现；
• 绿色标记的其它数字，必在所属 ALS 的绿色位置出现。

红色候选只要能看见同数字的全部保证位置，就可以删除。

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6. 常见误区

公共候选就是 RCC？

不是。RCC 不仅要同时出现在 A、B 中，还要求 A 侧的每个位置都能看见 B 侧的每个位置。

看见一部分 Z 就可以删除？

不可以。删数候选必须看见 Z 在 A、B 中的全部可能位置。

单 RCC 可以删除 X 吗？

通常不可以。单 RCC 只证明 X 不能同时在两组出现，并没有证明 X 至少出现一次。ALS-XZ 删除的是另一个被保证出现的公共候选 Z。

两组 ALS 可以共用格子吗？

不可以。这里讨论的 ALS-XZ 要求 A、B 互不重叠，否则“哪一组排除哪个候选”的证明不再成立。

只要 N 格 N+1 数就是 ALS？

还要保证这 N 个格子彼此可见，通常就是位于同一个行、列或宫中。

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7. 实战检查顺序

遇到 ALS-XZ 提示时，可以按下面的顺序阅读：

1. 先看格子：蓝色 ALS A、黄色 ALS B 是否各自满足 N 格 N+1 数；
2. 再看蓝色候选 X：A 中每个 X 是否都能看见 B 中每个 X；
3. 找公共候选 Z：Z 是否同时存在于 A、B；
4. 看绿色位置：这些是不是 Z 在两组中的全部可能位置；
5. 最后看红色候选：红色格是否能看见同数字的全部绿色位置。

如果这五步都成立，删数就不是猜测，而是由两个 ALS 的锁定关系共同保证的。