Исключение выровненных пар (APE)

Рекомендуется сначала изучить: Разметка кандидатов · Пары и подмножества · ALS-XZ

APE (Aligned Pair Exclusion) выбирает две синие базовые клетки, перебирает все пары их кандидатов и отвергает сочетания, приводящие к противоречию.

Если кандидат базовой клетки A не может сочетаться ни с одним кандидатом базовой клетки B, его можно удалить из A.

1. Свойство ALS, используемое в APE

ALS (Almost Locked Set, почти замкнутое множество) состоит из N клеток в одной строке, столбце или блоке, объединение кандидатов которых содержит ровно N+1 цифру.

Если всё множество лишается одной цифры, оно превращается в замкнутое множество из N клеток и N цифр. Если одновременно исключить две разные цифры, останется лишь N−1 цифра для N клеток, что невозможно. Именно второе свойство использует APE.

2. Когда ALS отвергает сочетание

Предположим A=p, B=q, где p ≠ q. Жёлтое ALS делает сочетание невозможным, если:

1. p и q входят в объединение кандидатов ALS;
2. A видит все позиции p в ALS;
3. B видит все позиции q в ALS.

A=p исключает все p из ALS, а B=q исключает все q. ALS теряет две разные цифры и уже не может заполнить N клеток, поэтому (p, q) невозможно. Клетки только с другими цифрами ALS не обязаны быть видны обеим базам, а сами цифры не обязаны быть RCC.

3. Type 1: базовые клетки видят друг друга

В Type 1 две синие клетки находятся в одной строке, столбце или блоке.

• (x, x) невозможно напрямую: в одной области цифра x не может повторяться.
• Различная пара (p, q) отвергается, когда A видит все p, а B — все q в ALS.

Конфликт одинаковых цифр является частью доказательства Type 1.

4. Type 2: базовые клетки не видят друг друга

В Type 2 базовые клетки не имеют общей области. Они могут одновременно содержать одну цифру, поэтому (x, x) необходимо сохранить как возможное сочетание.

Если обе клетки содержат кандидата x, x нельзя удалить только потому, что прочие сочетания заблокированы. Каждое отвергнутое сочетание Type 2 должно состоять из двух разных цифр и иметь настоящее противоречие ALS.

5. От перебора к удалению

Пусть A содержит 1, 4, а B — 1, 6, 8. Для проверки A=4 его нужно сопоставить с каждым вариантом B:

A	B	Противоречие
4	1	ALS P теряет 4 и 1
4	6	ALS Q теряет 4 и 6
4	8	ALS R теряет 4 и 8

Ни один кандидат B не совместим с A=4, значит 4 можно удалить из A. Одно ALS может отвергать несколько сочетаний либо разные ALS могут давать отдельные доказательства. Важно охватить все варианты. Такая же проверка выполняется в обратном направлении для кандидатов B.

6. Цвета подсказки

• Синие клетки: две базовые клетки.
• Зелёные кандидаты: кандидаты, образующие проверяемые пары.
• Жёлтые клетки: ALS, реально используемые в противоречиях.
• Жёлтые кандидаты: две цифры, которые ALS потеряло бы при допущении.
• Красный кандидат: несовместим со всеми вариантами другой базы и может быть удалён.

7. Частые ошибки

• Одного отвергнутого сочетания недостаточно: должны оказаться невозможными все кандидаты второй клетки.
• Каждая база должна видеть все позиции предполагаемой ею цифры в ALS; несвязанные клетки ALS могут быть невидимы.
• ALS должно быть N клетками одной области с ровно N+1 цифрой-кандидатом.
• Одинаковые цифры конфликтуют напрямую только в Type 1; в Type 2 они допустимы.
• Неполная разметка кандидатов может создать ложный вывод «все сочетания невозможны».
• APE может совпадать по удалению с парой, крылом или ALS-XZ. Несколько объяснений могут сохраняться, но по умолчанию выбирается более простой приём.

Кратко: зафиксируйте один кандидат, переберите все варианты другой клетки и удаляйте его только тогда, когда невозможен каждый путь.